Об одной задаче для интегральных операторов свертки

Рассматриваются операторы свертки $T_k\colon L^2(R^N)\to L^2(R^N)$ вида $T_kf(x)=\int_{R^N}k(x-y)f(y)\,dy$, интегральные на всем классе $L^2(R^N)$, т.е. ядро $k(x)$ такое, что для любого $f\in L^2(R^N)$ выполнено неравенство $\int_{R^N}|k(x-y)f(y)|\,dy<\infty$ для п. в. $x\in R^N$.
Получен ответ на следующую задачу В. Б. Короткова: для всякого ли оператора свертки $T_k\colon L^2(R^N)\to L^2(R^N)$, интегрального на всем $L^2(R^N)$, выполнено условие $\operatorname{mes}\{\xi\in R^N:|k^\wedge(\xi)|>\lambda\}<\infty$ для любого $\lambda>0$? Здесь $k^\wedge(\xi)$ – преобразование Фурье $k(x)$. Примером, дающим отрицательный ответ на указанную задачу, служит оператор $T_{\mathscr K}\colon L^2(R^1)\to L^2(R^1)$ с ядром $\mathscr K(x)$ таким, что $\mathscr K^\wedge(\xi)=\sum\limits_{n\ne0}\operatorname{sign}n\chi_{\bigl[-\frac1{2|n|},\frac1{2|n|}\bigr]}(\xi-n)$, где $\chi_{[a,b]}$ – характеристическая функция $[a,b]$.
Библиография: 4 названия.