Подпространства рассеяния и асимптотическая полнота для нестационарного уравнения Шредингера

В пространстве $L_2(\mathbf R^m)$ рассматривается уравнение Шредингера $i\partial u/\partial t=H(t)u$ с зависящим от времени гамильтонианом $H(t)=-\Delta+q(x,t)$. Предполагается, что $q=\overline q$, $|q(x,t)|\leqslant c(1+|x|)^{-a}$, $a>2$, и $m\geqslant5$; $H_0=-\Delta$. Показано, что каждое решение уравнения Шредингера, покидающее любое компактное подмножество конфигурационного пространства, обязательно имеет свободную асимптотику. Точнее, если при любом $\rho$ найдется последовательность $~t_n\to\pm\infty$ такая, что $\int_{|x|<\rho}|u(x,t_n)|^2\,dx\to0$, то при некотором$f_\pm$ выполнено $\|u(t)-\exp(-iH_0t)f_\pm\|\to 0$, $t\to\pm\infty$, Это дает эффективное описание областей значений волновых операторов, связывающих задачи со свободным $H_0$ и полным $H(t)$ гамильтонианами. Примеры показывают точность наложенных условий. Отдельно разобран случай периодических по $t$ функций $q(x,t)$, когда описание областей значений волновых операторов можно дать в спектральных терминах при $a>1$ и любом $m$. Рассмотрены также более общие дифференциальные операторы.
Библиография: 14 названий.