О строении $\mathscr H_{n-1}$-почти везде выпуклых гиперповерхностей в $\mathbf R^{n+1}$

Доказано, что вложенная в $\mathbf R^{n+1}$, $n\geqslant2$, гиперповерхность $F$, локально выпуклая во всех точках, кроме замкнутого множества $E$ нулевой $(n-1)$-мерной меры Хаусдорфа $\mathscr H_{n-1}(E)$, и строго выпуклая вблизи $E$, оказывается локально выпуклой всюду. Получен ряд следствий, в том числе: пусть $M$ – полное двумерное риманово многообразие неотрицательной кривизны $K$, $E\subset M$ – замкнутое подмножество, $\mathscr H_1(E)=0$ и существует окрестность $U\supset E$ такая, что $K(x)>0$ при $x\in U\setminus E$; если $f\colon M\to\mathbf R^3$ такое, что $f|_{U\setminus E}$ – вложение и $f|_{M\setminus E}\in C^{1,\alpha}$, $\alpha>2/3$, то $f(M)$ – полная выпуклая поверхность в $\mathbf R^3$. Это обобщает результаты работы РЖ МАТ, 1973, 7А724.
Библиография: 19 названий.