Две теоремы из теории периодических преобразований

Пусть $X$ – связное паракомпактное хаусдорфово пространство, на котором свободно действует циклическая группа простого порядка $p$ с образующей $T$. Пусть $f\colon X\to M$ – непрерывное отображение $X$ в топологическое многообразие $M$ размерности $m$. Положим $A(f)=\{x\in X\mid f(x)=f(Tx)=\dots=f(T^{p-1}x)\}$. Если $M$ ориентируемо над $\mathbf Z_p$, $\check H^i(X;\mathbf Z_p)=0$ при $0<i<n$, a $f^{*}\colon\check H^m(M;\mathbf Z_p)\to\check H^m(X;\mathbf Z_p)$ имеет нулевой образ, то при слабой локальной стягиваемости $X$ $\dim A(f)\geqslant n-m(p-1)$. Если, кроме того, $X$ – $N$-мерное топологическое многообразие, то $\dim A(f)\geqslant N-m(p-1)$. При $p=2$ пусть $\check H^*(X;\mathbf Z_2)=H^*(S^n;\mathbf Z_2)$ и $\dim X<\infty$, a $M$ – связное компактное замкнутое многообразие размерности $n$ со свободной инволюцией $T'$. Пусть $A'(f)=\{x\in X\mid f(Tx)=T'f(x)\}$. Если $f^*\colon\check H^n(M;\mathbf Z_2)\to H^n(X;\mathbf Z_2)$ – мономорфизм, то $A'(f)\ne\varnothing$.
Библиография: 5 названий.