О связи между гипотезой Хьюза и соотношениями в конечных группах простого периода

В предположении о несовпадении по модулю $p$ идеала соотношений свободной 3-порожденной группы периода $p$ и $(p-1)$-энгелева идеала доказывается, что существуют $p$-группы $P$ ступени нильпотентности $2p-1$, в которых индекс подгруппы Хьюза $H_p(P)$ равен $p^2$ (теорема 1). Тем самым получается неулучшаемость результата Макдональда о $p$-группах класса $2p-2$ (пока для $p=5,7,11$). Доказательство основано на прямых вычислениях, почти таких же, как в работе А.  И. Кострикина 1957 г., и использующих свойства коэффициентов формулы Бейкера–Хаусдорфа.
Автоморфизм $\varphi$ порядка $p$ группы $G$ называется расщепляющим, если $xx^\varphi x^{\varphi\,2}\dots x^{\varphi\,p-1}=1$ для всех $x$ из $G$. Легко понять, что $G\ne H_p(G)$ тогда и только тогда, когда $G=G_1\langle\varphi\rangle$, где $\varphi$ – расщепляющий автоморфизм порядка $p$ группы $G_1$. Доказано, что если конечная $p$-группа $P$ допускает расщепляющий автоморфизм $\varphi$ порядка $p$, и ступень нильпотентности группы $P\langle\varphi\rangle$ не превосходит $2p-2$, то группа $P$ регулярна (теорема 2). Из теоремы 2 можно вывести независимое доказательство гипотезы Хьюза для $p$-групп класса $2p-2$.
На основе теоремы 1 строятся примеры $p$-групп, допускающих расщепляющий автоморфизм порядка $p$, у которых присоединенное кольцо Ли не $(p-1)$-энгелево.
Библиография: 12 названий.