Локализация идеалов и асимптотические теоремы единственности для функций с ограничениями на рост
С. А. Апресян
Аннотация:
Пусть
$\mathbf D=\{z\in\mathbf C:|z|<1\}$,
$U_\varphi(\mathbf D)$ – множество всех субгармонических в
$\mathbf D$ функций
$u$, для которых
$u(z)<C_u\varphi(1/(1-|z|))$,
$A_\varphi(\mathbf D)$ – алгебра всех аналитических в
$\mathbf D$ функций
$f$, для которых
$\log|f(z)|<C_f\varphi(1/(1-|z|))$.
При известных ограничениях правильности роста функции
$\varphi$ доказаны
Теорема 1.
Если $\gamma$ – непрерывная кривая в $\mathbf D$, выходящая к окружности $\partial\mathbf D$ (т.е. $\gamma\cap\partial\mathbf D\ne\varnothing$), и
$$
\varlimsup_{z\in\gamma,|z|\to1}\frac{u(z)}{\varphi^*(1/(1-|z|))}=-\infty,
$$
то $u\equiv-\infty$.
Здесь $\varphi^*(t)=t\bigl(\int_1^t(\varphi(x)/x^3)^{1/2}\,dx\bigr)^2$ при
$a_\varphi\leqslant1$ и
$\varphi^*=\varphi$ при
$1<a_\varphi\leqslant+\infty$, $a_\varphi=\lim_{x\to\infty}\varphi'(x)x/\varphi(x)$.
Теорема 2. {\it Для того чтобы каждый замкнутый идеал алгебры
$A_\varphi(\mathbf D)$ был дивизориальньм, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
$\int_1^\infty(\varphi(x)/x^3)^{1/2}\,dx=+\infty$.}
Здесь дивизориальность идеала
$I$ означает, что $I=\{f\in A_\varphi(\mathbf D):k_f\geqslant k_I\}$, где
$k_f(\xi)$ – кратность нуля функции
$f$ в точке
$\xi$,
$k_I(\xi)=\min_{f \in I}k_f(\xi)$.
Рисунков: 5.
Библиография: 33 названия.
УДК:
517.549.8
MSC: Primary
46J15,
46H10,
30E15; Secondary
31A05 Поступила в редакцию: 17.11.1977