Многомерное обобщение формулы Гаусса–Бонне для векторных полей в евклидовом пространстве

Рассматривается единичное векторное поле $n$, заданное в некоторой области $G$ $(m+1)$-мерного евклидова пространства $E^{m+1}$ и для него устанавливается формула, обобщающая формулу Гаусса–Бонне. Для этого с помощью векторного поля $n$ строится отображение произвольной гиперповерхности $F^m\subset G$ на единичную $m$-мерную сферу $S^m$. Доказано: элемент объема $d\sigma$ сферы $S^m$ и элемент объема $dV$ гиперповерхности $F^m$ при этом отображении связаны соотношением $d\sigma=(P\nu)dV$, где $\nu$ – единичная нормаль к $F^m$, $P$ – вектор кривизны поля $n$:
$$ P=(-1)^m\{S_mn+S_{m-1}k_1+\dots+k_m\}. $$
Здесь $S_i$ – симметрические функции главных кривизн второго рода поля $n$, $k_1=\nabla_nn,\dots,k_{i+1}=\nabla_{k_i}n,\dots$. Поток векторного поля $P$ через замкнутую поверхность $F^m$, деленный на объем $m$-мерной единичной сферы $S^m$, равен степени отображения $F^m$ на $S^m$ с помощью векторного поля $n$. Для поля $n$, заданного во всем $E^3$, включая бесконечно удаленную точку, с помощью векторного поля $P$ вычисляется инвариант Хопфа.
Библиография: 5 названий.