О наименьших уклонениях функции $\operatorname{sign}x$ и ее первообразных от рациональных функций в метриках $L_p$, $0<p\leqslant\infty$

В статье даются оценки типа слабых эквивалентностей при $n\to\infty$ для наименьших уклонений $L_pR_n(f,[-1,1])$ функций $f(x)=x^s\operatorname{sign}x$ ($s=0,1,\dots$) в метриках $L_p[-1,1]$ ($1\leqslant p\leqslant\infty$) от рациональных функций степени $\leqslant n$ ($n=1,2,\dots$). Именно, показывается, что
$$ L_pR_n(x^s\operatorname{sign}x,[-1,1])\asymp n^\frac1{2p}\exp\biggl\{-\pi\sqrt{\Biggl(s+\frac1p\biggr)n}\Biggr\} $$
($s\ne0$ при $p=\infty$); в частности,
\begin{gather*} L_pR_n(\operatorname{sign}x,[-1,1])\asymp n^\frac1{2p}\exp\Biggl\{-\pi\sqrt{\frac np}\Biggr\}\qquad(1\leqslant p<\infty), \\ L_pR_n(|x|,[-1,1])\asymp n^\frac1{2p}\exp\Biggl\{-\pi\sqrt{\biggl(1+\frac1p\biggr)n}\Biggr\}\qquad(1\leqslant p\leqslant\infty). \end{gather*}

Библиография: 9 названий.