Аналоги ядра Коши на римановой поверхности и некоторые их приложения

На произвольной римановой поверхности при определенных ограничениях на поведение в окрестности идеальной границы построены аналоги ядра Коши, соответствующие произвольно заданному конечному дивизору. В качестве первого приложения этих ядер дано новое доказательство теоремы Римана–Роха, которое отличается от известных (даже в случае компактной римановой поверхности) простотой и конструктивностью (базисы соответствующих пространств функций и дифференциалов явно выражены через элементарные абелевы дифференциалы первого и третьего рода). С помощью интегралов типа Коши с построенными выше ядрами дается явное решение задачи “о скачке” как для кусочно мероморфных функций, так и для дифференциалов. Далее полученные результаты применяются к исследованию краевых задач Б. Римана и А. И. Маркушевича. Доказана нормальная разрешимость этих задач и вычислены их индексы.
Библиография: 26 названий.