Об интегрировании по частям в $SCP$-интеграле Беркилля

Доказан ряд свойств обобщенных интегралов. Основным результатом работы является
Теорема 3. {\it Пусть $f$ $SCP$-интегрируема на $[a,b]$ с базисом $B$ и функция $\Phi$ – ее $SCP$-примитивная$,$ $G(x)=\int^x_ag\,dt$ где $g$ – непрерывная функция$,$ имеющая на $[a,b]$ ограниченную вариацию. Тогда произведение $f\cdot G$ $SCP$-интегрируемо на $[a,b]$ с базисом $B$ и
$$ (SCP,B)\int^b_af\cdot G\,dx=\Phi\cdot G|^b_{x=a}-(D^*)\int^b_a\Phi g\,dx. $$
}
Теорема 3 может быть использована при доказательстве того, что если
$$ f(x)=\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) $$
конечна всюду на $[-\pi,\pi]$, то при $n\geqslant1$
$$ a_n=\frac1\pi(SCP,B)\int^\pi_{-\pi}f(x)\cos nx\,dx,\qquad b_n=\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x)\sin nx\,dx. $$

Библиография: 10 названий.