О суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям дифференциального оператора

Пусть $a$ – эллиптический положительный оператор с постоянными коэффициентами, $\Omega$ – некоторая область в $R^l$. Оператор $a$ рассмотрим на $C_0^\infty(\Omega)$, и пусть $\hat a$ – какое-либо его расширение с положительной нижней границей. Через $\{E_\lambda\}$ обозначим спектральное семейство оператора $\hat a$. Оператор $E_\lambda$ или его риссовское среднее $E_\lambda^\alpha$ рассматривается на функциях $f\in L^p(\Omega)$, $1\leqslant p<\infty,$ таких, что $\operatorname{supp}f\subseteq\Omega_0$, где $\Omega_0$ – некоторая область с компактным в $\Omega$ замыканием. Изучается норма оператора $E_\lambda\colon L^p(\Omega_0)\to L^p(\Omega_0)$. В известном смысле законченный ответ удается получить, когда точка $(p,\alpha)$ лежит в одной из трех областей:
\begin{gather*} \left\{(p,\alpha):1\leqslant p\leqslant\frac{2l}{l+1},0\leqslant\alpha\leqslant\alpha_p=\frac lp-\frac{l+1}2\right\},\\ \left\{(p,\alpha):\frac{2l}{l-1}\leqslant p\leqslant\frac{2l}{l-1},\alpha=0\right\},\\ \left\{(p,\alpha):1\leqslant p\leqslant2,\alpha>(l-1)\biggl(\frac1p-\frac12\biggr)\right\}. \end{gather*}
Для $1\leqslant p\leqslant\frac{2l}{l+1}$, $\alpha=\alpha_p=\frac lp-\frac{l+1}2$ строится пример функции, для которой риссовские средние порядка $\alpha_p$ ее спектрального разложения расходятся почти всюду. Для $\frac{2l}{l+1}<p<2$, $\alpha=0$ аналогичный пример строится для разложений в кратный ряд Фурье.
Библиография: 26 названий.