О сходимости сферических средних Рисса кратных рядов Фурье

Доказывается $N$-мерный аналог одной теоремы А. И. Плесснера–П. Л. Ульянова об эквивалентных условиях сходимости некоторых рядов и интегралов. Из него получается достаточное условие на квадратический модуль непрерывности периодической функции $N\geqslant2$ переменных, которое обеспечивает сходимость почти всюду сферических сумм ее ряда Фурье. Доказывается двумерный аналог теоремы Лузина–Данжуа и $N$-мерный аналог признака Дини–Липшица. Приводится необходимое и достаточное условие на функцию $\Phi(u)$, которое обеспечивает точечную сходимость сферических средних Рисса критического порядка кратных рядов Фурье функций ограниченной $\Phi$-вариации.
Библиография: 33 названия.