Эта публикация цитируется в
9 статьях
Дефект допустимых шаров и октаэдров в решетке и системы общих представителей
А. М. Райгородский Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Аннотация:
Рассмотрим репер
${\mathscr E}=O\,\mathbf e_1,\dots ,\mathbf e_n$,
состоящий из координатных ортов, решетку
$\Lambda \subset \mathbb R^n$
такую, что
${\mathbb Z}^n\subset \Lambda$, единичный октаэдр
${\mathscr O}_{\mathscr E}^n$ и единичный шар
${\mathscr B}_{\mathscr E}^n$. Множество
$\Omega \in \{{\mathscr O}_{\mathscr E}^n,{\mathscr B}_{\mathscr E}^n\}$
назовем
допустимым в $\Lambda$, если
$\Omega \cap \Lambda =\{O,\pm \mathbf e_1,\dots ,\pm \mathbf e_n\}$.
Дефектом $d(\Omega;\Lambda)$ допустимого в $\Lambda$ множества
$\Omega$ относительно $\Lambda$ назовем минимальное число векторов,
которые необходимо удалить из
${\mathscr E}$, чтобы оставшаяся
система была дополнима до базиса в
$\Lambda$. Положим
$d_n(\Omega)=\max _\Lambda d(\Omega;\Lambda )$ и $d_n^*(\Omega)=\max _\Lambda ^*d(\Omega;\Lambda )$, где в первом случае максимум берется по всем
$\Lambda$, а во втором случае по таким
$\Lambda$, что
$\Lambda /{\mathbb Z}^n$ – циклическая группа. В работе показано, что
$d_n^*(\Omega)\gg \frac n{\log n}(\log \log n)^2$,
$d_n(\Omega)\geqslant n-c\frac n{\log n}$, где
$c$ – абсолютная константа.
Результаты получены с помощью методов геометрии чисел и комбинаторики.
Библиография: 7 названий.
УДК:
513.85+
519.1
MSC: Primary
11H31,
52C17; Secondary
11H55 Поступила в редакцию: 31.10.1996
DOI:
10.4213/sm328