Липшицевы продолжения линейно ограниченных функций

Рассматривается задача продолжения действительнозначной функции с подмножества $Y$ метрического пространства $(X,d)$ на все пространство. Известный результат Макшейна позволяет продолжить равномерно непрерывную функцию с сохранением модуля непрерывности. Однако при этом остаются без ответа некоторые естественные вопросы. Предлагается новый вид продолжения для широкого класса функций, включающего ограниченные и липшицевы функции. Доказывается ряд полезных в приложениях свойств продолжения, в том числе, сохранение ограничений на приращения значений функции, если ограничения заданы при помощи квазивогнутых мажорант.
Построенное продолжение позволило усилить и обобщить известные результаты в задаче о следах функций с ограниченным градиентом. Продолжение применяется в двух задачах приближения функций. В частности, дано прямое доказательство теоремы о плотности класса $\operatorname {Lip}(X)$ в классе $\operatorname {lip}(X,\omega )$.
Библиография: 24 названия.