Об оценке функции, представленной рядом Дирихле

Рассматривается ряд
$$ f(z)=\sum_{k=1}^\infty a_ke^{\lambda_kz},\qquad0<\lambda_k\uparrow\infty,\quad\sum_{k=1}^\infty\lambda_k^{-1}<\infty, $$
сходящийся во всей плоскости.
Теорема 1. {\it Пусть $|f(x)|<H(x),$ $-\infty<x<\infty,$ где $0<H(x)\uparrow\infty$. Для данных $\varepsilon>0$ и $h>0$ существует такая постоянная $A,$ не зависящая от $f(z)$ и $H(x),$ что $|f(z)|<AH(x+\varepsilon),$ $x=\operatorname{Re}z,$ $|y|<h$.}
Теорема 2. {\it Пусть дополнительно
$$ \delta=\varlimsup_{k\to\infty}\frac1{\lambda_k}\ln\biggl|\frac1{L'(\lambda_k)}\biggr|<\infty,\qquad L(\lambda)=\prod_{k=1}^\infty\biggl(1-\frac\lambda{\lambda_k}\biggr), $$
тогда при любых $z$ мы имеем $|f(z)|<AH(x+\delta+\varepsilon),$ $x=\operatorname{Re}z$.}
Величину $\delta$ нельзя заменить здесь меньшей величиной. Эти результаты усиливают соответствующие результаты Гайера (РЖМат., 1967, 10Б155) иЁАндерсона и Бинмора (РЖМат., 1972, 7Б1115).
Библиография: 7 названий.