О сферической сходимости интеграла Фурье индикатора $N$-мерной области

Сходимость сферических средних $f_\Omega (a)$ ($f$ – характеристическая функция компактной области $\mathscr D^N\in \mathbb R^N$, $\Omega$ – радиус шара в частотной области) в точке $a\in \mathbb R^N$, $a\notin \partial \mathscr D^N$ ($\partial \mathscr D$ – граница $\mathscr D^N$) характеризуется показателем сходимости $\sigma (a\,|\,\partial \mathscr D^N)$. Если $|f_\Omega (a)-f(a)|\leqslant O(\Omega ^{-\gamma +\varepsilon })$ $\forall \,\varepsilon >0$ при $\Omega \to \infty$ и $\gamma >0$, то $\sigma (a\,|\,\partial \mathscr D^N)$ – точная верхняя грань $\gamma$. Исследуется вопрос о зависимости величины $\sigma (a\,|\,\partial \mathscr D^N)$ от положения точки $a\notin \partial \mathscr D^N$ и геометрии гиперповерхности $\partial \mathscr D^N$. Показано, что если граница $\partial \mathscr D^N$ гладкая и $a\notin \mathscr K(\partial \mathscr D^N)$ ($\mathscr K(\partial \mathscr D^N)$ – фокальная поверхность границы $\partial \mathscr D^N$), то $\sigma (a\,|\,\partial \mathscr D^N)=1$ независимо от $N$. С использованием результатов теории особенностей дано полное описание поведения $\sigma (a\,|\,\partial \mathscr D^N)$ при $N\leqslant 10$ для областей $\mathscr D^N$ с границей общего положения. Рассмотрен вопрос о размерности области расходимости $\mathscr R(\partial \mathscr D^N)\in \mathscr K(\partial \mathscr D^N)$ (сферические средние расходятся при $\Omega \to \infty$, $a\in \mathscr R(\partial \mathscr D^N)$). Показано, что при $N\geqslant 3$ $\dim \mathscr R(\partial \mathscr D^N)\leqslant N-3$ и при $N\geqslant 21$ существуют гиперповерхности $\partial \mathscr D^N$ общего положения такие, что $\dim \mathscr R(\partial \mathscr D^N)\geqslant N-21$.
Библиография: 21 название.