Критерии нормальной разрешимости систем сингулярных интегральных уравнений и уравнений Винера–Хопфа

Пусть $\Gamma$ – единичная окружность и $L^k$ ($k=1,2,\dots$) – гильбертово пространство вектор-функций $f(\zeta)=\{f_j(\zeta)\}_{j=1}^k$ с координатами из $L_2(\Gamma)$.
Теорема. {\it Пусть $a(\zeta),b(\zeta)$ $(\zeta\in\Gamma)$ – $m\times n$-матрицы с непрерывными на $\Gamma$ элементами. Для того чтобы сингулярный интегральный оператор $T$, действующий из $L^n$ в $L^m$ no правилу
$$ (Tf)(\zeta)=c(\zeta)f(\zeta)+\frac{d(\zeta)}{\pi i}\int_\Gamma\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz\qquad(f\in L^n) $$
был нормально разрешим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия}:
а) ранг каждой из матриц $c(\zeta)+d(\zeta)$ и $c(\zeta)-d(\zeta)$ не зависит от аргумента $\zeta$ на единичной окружности;
б) {\it $\inf_{x\in(\operatorname{Ker}T)^\perp,\,\|x\|=1}\{\rho(Px,\operatorname{Ker}aI)+\rho(Qx,\operatorname{Ker}bI)\}>0.$}
Через $P$ обозначим ортопроектор в $L^n$, определенный равенством $(Pf)(\zeta)=\frac12f(\zeta)+\frac1{2\pi i}\int_\Gamma\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz$ ($f\in L^n$), $Q=I-P$. Условия а) и б) являются независимыми.
Теорема применяется к уравнениям типа Винера–Хопфа.
Библиография: 11 названий.