Об одном классе гипоэллиптических операторов

Пусть переменные в $R^{k+n}$ разбиты на две группы $x=(x',y)$, $x'\in R^k$, $y\in R^n$. Рассматриваются дифференциальные операторы $p(x,D)$ с полиномиальными символами вида
$$ p(x,D)=\sum_{|\alpha|+|\beta|\leqslant m,\,|\gamma|\leqslant m\delta}a_{\alpha\beta\gamma}y^\gamma D_{x'}^\beta D_y^\alpha,\qquad(\xi,\eta)\in R^k\times R^n, $$
где $\delta>0$. Предполагается, что символ $p(x,\xi,\eta)$ обладает свойством квазиоднородности:
$$ p\biggl(\frac y\lambda;\lambda^{1+\delta}\xi,\lambda\eta\biggr)=\lambda^mp(y;\xi,\eta)\quad\forall\lambda>0 $$
и $p(x,D)$ эллиптичен при $y\ne0$. Найдено необходимое и достаточное условие для гипоэллиптичности операторов этого класса, которое состоит в том, что уравнение $p(y;\xi,D_y)v(y)=0$, $\xi\ne0$, не должно иметь нетривиальных решений из $S(R_y^n)$. Так, например, оператор $\Delta_y^l+|y|^{2r}\Delta_{x'}^l$ гипоэллиптичен при любых целых $l>0$ и $r>0$, оператор $\Delta^2_y+|y|^4\Delta_{x'}^2+\lambda\Delta_{x'}$ гипоэллиптичен тогда и только тогда, когда $\lambda$ не является собственным числом для оператора $\Delta^2_y+|y|^4$ в $L_2(R_y^n)$. Частично эти результаты распространяются на операторы с переменными коэффициентами и псевдодифференциальные операторы.
Библиография: 22 названия.