Эта публикация цитируется в
7 статьях
Об одном классе нелинейных уравнений в пространстве измеримых функций
Н. В. Крылов
Аннотация:
Рассматривается класс уравнений в пространстве измеримых функций, в который входит большое количество уравнений относительно цены игры из теории оптимального управления стохастическими процессами. Доказывается следующая
Теорема. {\it Пусть
$L$ есть
$B$-пространство, состоящее из измеримых функций,
$W\subset L,$ $W$ с некоторой нормой является
$B$-пространством со слабо компактной сферой,
$V_0$ – подпространство
$W,$ всюду плотное в
$L,$ $v_0\in W,$ $V=V_0+v_0$.
Пусть
$L^{\alpha\beta}$ $(\alpha\in\mathfrak U,$ $\beta\in\mathfrak B(\alpha))$ – семейство операторов, заданных на
$W,$ с положительными резольвентами
$R_\lambda^{\alpha\beta}$ $(R_\lambda^{\alpha\beta}f\in V_0$ при
$f\in L),$ $f^{\alpha\beta}$ $(\alpha\in\mathfrak U,$ $\beta\in\mathfrak B(\alpha))$ – семейство функций,
$|f^{\alpha\beta}|\leqslant g\in L$ для всех
$\alpha,\beta$.
Тогда
$($при некоторых дополнительных предположениях о
$L,$ $W,$ $L^{\alpha\beta},$ $R_\lambda^{\alpha\beta})$ уравнение $\lambda u-\inf_{\alpha\in\mathfrak U}\sup_{\beta\in\mathfrak B(\alpha)}(L^{\alpha\beta}u+f^{\alpha\beta})=f$ при
$\lambda\geqslant0,$ $f\in L$ имеет (и притом единственное) решение в
$V$. Это решение имеет вид}
$$
u=\inf_{\alpha\in\mathfrak U}\sup_{\beta\in\mathfrak B(\alpha)}R_\lambda^{\alpha\beta}(f^{\alpha\beta}+f+\lambda v_0-L^{\alpha\beta}v_0)+v_0.
$$
Библиография: 6 названий.
УДК:
517.51+513.881
MSC: 46E30,
49J20,
60Gxx,
47Axx Поступила в редакцию: 30.10.1968