О точной лиувиллевой теореме для решений параболического уравнения на характеристике

Рассматривается уравнение $u_t=Lu+c(x)$, где $L=\sum_{i,j=1}^n\frac\partial{\partial x_i}\bigl(a_{ij}(x)\frac\partial{\partial x_j}\bigr)$ – самосопряженный равномерно эллиптический оператор второго порядка, $a_{ij}\in C^2(\mathbf R^n)$, $c\in C^1(\mathbf R^n)$ и $|D^\beta a_{ij}(x)|=o(|x|^{-|\beta|})$, $|\beta|=1,2$, $|c(x)|=o(|x|^{-2})$ в полосе $0<t\leqslant T$. Для решения $u$ этого уравнения доказаны следующие утверждения: если $|u(t,x)|= O(\exp\varphi(|x|))$ ($\varphi(r)\geqslant r^{2+\varepsilon}$ – произвольная возрастающая функция одного переменного) равномерно по $t$ и в некотором конусе на характеристике $t=T$ $|u(T,x)|=O(\exp(-C\varphi(C'|x|)))$ ($C$ и $C'$ – зависящие от уравнения и раствора конуса константы), то $u(T,x)\equiv0$; если $|u(T,x)|=O(\exp K|x|^2)$ и в конусе $|u(T,x)|=O(\exp(-C(K+1/T)|x|^2))$, то $u(t,x)\equiv0$.
Библиография: 11 названий.