Полиномиальные интегралы обратимых механических систем с конфигурационным пространством в виде двумерного тора

В работе рассматривается задача об условиях существования полиномиальных по импульсам интегралов обратимых гамильтоновых систем. Кинетическая энергия – риманова метрика нулевой кривизны, потенциал – гладкая функция на двумерном торе. Как известно, существование интегралов степени 1 и 2 связано с наличием циклических координат и разделением переменных. Известна также следующая гипотеза: если имеется интеграл степени $n$, независимый от интеграла энергии, то обязательно найдется дополнительный интеграл степени 1 или 2. В настоящей работе эта гипотеза доказана для $n=3$ (обобщение теоремы М. Л. Бялого), а для $n=4$, 5 или 6 это установлено при некоторых дополнительных предположениях о спектре потенциала.
Библиография: 14 названий.