Оснащенные функции Морса на поверхностях

Пусть $M$ – гладкая, компактная, не обязательно неориентируемая поверхность с краем (возможно, пустым), $F$ – пространство функций Морса на $M$, постоянных на каждой компоненте края и не имеющих критических точек на крае. Введено понятие оснащения для функции Морса $f\in F$. В случае ориентированной поверхности $M$ это – замкнутая 1-форма $\alpha$ на поверхности $M$ с выколотыми критическими точками локальных минимумов и локальных максимумов функции $f$ такая, что вблизи любой критической точки пара $(f,\alpha)$ имеет канонический вид в подходящих локальных координатах и 2-форма $df\wedge\alpha\ne0$ всюду на $M$ с выколотыми критическими точками и задает там положительную ориентацию. Доказано, что любая функция Морса на $M$ имеет оснащение и пространство $F$, снабженное $C^\infty$-топологией, гомотопически эквивалентно пространству $\mathbb F$ оснащенных функций Морса. Полученные результаты позволяют свести задачу нахождения гомотопического типа пространства $F$ к более простой задаче нахождения гомотопического типа пространства $\mathbb F$. В качестве решения последней задачи сформулирован аналог параметрического $h$-принципа для пространства $\mathbb F$.
Библиография: 41 название.