Некоторые варианты принципа компенсированной компактности

Изучается сходимость в $L^1(\Omega)$, где $\Omega$ – область в $\mathbb R^d$, произведения соленоидального вектора $w_\varepsilon$ и градиента $\nabla u_\varepsilon$, слабо сходящихся в пространствах $L^\gamma(\Omega)^d$ и $L^\alpha(\Omega)^d$, причем $\frac1\gamma+\frac1\alpha>1$, т.е. нарушено основное условие классической $div$-$cirl$ леммы. Тем не менее при определенных дополнительных условиях сохраняется сходимость (в смысле распределений в $\Omega$)
$$ \lim_{\varepsilon\to0}w_\varepsilon\cdot\nabla u_\varepsilon=\lim_{\varepsilon\to0}w_\varepsilon\cdot\lim_{\varepsilon\to0}\nabla u_\varepsilon=w\cdot\nabla u, $$
которая имеет место в рамках $div$-$curl$ леммы.
Новые доказанные нами варианты принципа компенсировнной компактности применимы в усреднении и теории $G$-сходимости монотонных операторов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста, в том числе вырожденных.
Библиография: 20 названий.