Степени подмножеств свободных групп

Доказано, что $|A^n|\geqslant c_n\cdot|A|^{[(n+1)/2]}$ для любого конечного подмножества $A$ свободной группы, содержащего хотя бы два некоммутирующих элемента, где $c_n>0$ – некоторые константы, не зависящие от $A$. Несложные примеры показывают, что ни для какого $n>0$ улучшить порядок этих оценок нельзя.
Библиография: 5 названий.