Приближение функций из пространств Лебега и Соболева с переменным показателем суммами Фурье–Хаара

Рассматривается пространство $L^{p(x)}$, состоящее из действительных измеримых функций $f(x)$, определенных на $[0,1]$, для которых существует конечный интеграл $\displaystyle\int_0^1|f(x)|^{p(x)}\,dx$. Если $1\le p(x)\le \overline p<\infty$, то пространство $L^{p(x)}$ можно превратить в банахово пространство с нормой $\displaystyle\|f\|_{p(\cdot)}=\inf\biggl\{\alpha>0:\int_0^1|{f(x)/\alpha}|^{p(x)}\,dx\le1\biggr\}$. Доказано, что если переменный показатель $p(x)$ удовлетворяет условию $|p(x)-p(y)|\ln(1/|x-y|)\le c$, то для сумм Фурье–Хаара $Q_n(f)$ имеет место аналог первой теоремы Джексона следующего вида: $\|f-Q_n(f)\|_{p(\cdot)}\le c(p)\Omega(f,1/n)_{p(\cdot)}$, где $\Omega(f,\delta)_{p(\cdot)}$ – модуль непрерывности в $L^{p(x)}$, определенный с помощью функций В. А. Стеклова. Если же функция $f(x)\in W_{p(\cdot)}^1$, где $W_{p(\cdot)}^1$ – пространство Соболева с переменным показателем $p(x)$, то доказано, что $\|f-Q_n(f)\|_{p(\cdot)}\le c(p)/n\|f'\|_{p(\cdot)}$. Исследована также задача об оценке отклонения $|f(x)-Q_n(f,x)|$ для $f(x)\in W_{p(\cdot)}^1$ в заданной точке $x\in[0,1]$. В случае, когда $p(x)\equiv p= \mathrm{const}$, получено точное значение величины $\sup_{f\in W_{p}^1(1) }|f(x)-Q_n(f,x)|$, где $W_{p}^1(1)=\{f\in W_{p}^1:\|f'\|_{p(\cdot)}\le1\}$.
Библиография: 17 названий.