О полиномиальных решениях уравнения Монжа–Ампера

Для уравнения Монжа–Ампера $z_{xx}z_{yy}-z_{xy}^2=f(x,y)$ рассмотрен вопрос существования полиномиальных решений в том случае, когда $f(x,y)$ – полином. Доказано, что если $f$ – полином 2-й степени, положительный при всех значениях аргументов и с положительной квадратичной частью, то не существует никакого полиномиального решения. В то же время указано не полиномиальное решение, аналитическое на всей плоскости $x$, $y$. Установлены необходимые и достаточные условия существования решений в виде полиномов до 4-й степени и указаны методы построения таких решений. Доказана аппроксимационная теорема.
Библиография: 10 названий.