Эта публикация цитируется в
14 статьях
Приближение функций из пространств Лебега и Соболева с переменным показателем средними Валле Пуссена
И. И. Шарапудиновab a Дагестанский научный центр Российской академии наук, г. Махачкала
b Владикавказский научный центр Российской академии наук
Аннотация:
Рассматривается пространство
$L^{p(\cdot)}_{2\pi}$, состоящее из
$2\pi$-периодических действительных измеримых функций
$f$, для которых существует конечный интеграл
$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{p(x)}\,dx$, где
$1\leqslant p(x)$ –
$2\pi$-периодическая измеримая функция (переменный показатель). Если
$ p(x)\leqslant \overline p<\infty$, то пространство
$L^{p(\cdot)}_{2\pi}$ можно превратить в банахово пространство с нормой
$\displaystyle\|f\|_{p(\cdot)}=\inf\biggl\{\alpha>0:\int_{-\pi}^{\pi}\biggl|\frac{f(x)}{\alpha}\biggr|^{p(x)}\,dx\leqslant1\biggr\}$. В пространстве
$L^{p(\cdot)}_{2\pi}$ выделяется подпространство типа Соболева
$W^{r,p(\cdot)}_{2\pi}$. В статье исследованы аппроксимативные свойства средних Валле Пуссена тригонометрических сумм Фурье для функций из пространств
$W^{r,p(\cdot)}_{2\pi}$. В частности, доказано, что если переменный показатель
$p=p(x)$ удовлетворяет условию Дини–Липшица
$|p(x)-p(y)|\ln\frac{2\pi}{|x-y|}\leqslant c$ и
$f\in W^{r,p(\cdot)}_{2\pi}$, то для средних Валле Пуссена
$V_m^n(f)=V_m^n(f,x)$ с
$n\leqslant am$ имеет место неравенство
$$
\|f-V_m^n(f)\|_{p(\cdot)}\leqslant \frac{c_r(p,a)}{n^r}\Omega\biggl(f^{(r)},\frac1n\biggr)_{p(\cdot)},
$$
где
$\Omega(g,\delta)_{p(\cdot)}$ – модуль непрерывности функции
$g\in L^{p(\cdot)}_{2\pi}$, определенный с помощью функций Стеклова. Доказано, что если
$1<p(x)$,
$r\geqslant1$,
$f\in W^{r,p(\cdot)}_{2\pi}$ и выполнено условие Дини–Липшица, то
$$
|f(x)-V_m^n(f,x)|\leqslant \frac{c_r(p)}{m+1}\sum_{k=n}^{n+m}\frac{E_k(f^{(r)})_{p(\cdot)}}{(k+1)^{r-{{1}/{p(x)}}}},
$$
где
$E_k(g)_{p(\cdot)}$ – наилучшее приближение функции
$g\in L^{p(\cdot)}_{2\pi}$ тригонометрическими полиномами порядка
$k$.
Библиография: 19 названий.
Ключевые слова:
пространства Лебега и Соболева с переменным показателем, приближение функций средними Валле Пуссена.
УДК:
517.538
MSC: Primary
42A10; Secondary
46E30,
46E35 Поступила в редакцию: 13.03.2015 и 18.02.2016
DOI:
10.4213/sm8509