Задача Коши для нелинейных систем уравнений в критическом случае

Изучено асимптотическое поведение при больших временах решений задачи Коши для системы нелинейных эволюционных уравнений с диссипацией
\begin{gather*} u_t+\mathscr N(u,u)+\mathscr Lu=0, \qquad x\in\mathbb R^n, \quad t>0, \\ u(0,x)=\widetilde u(x), \qquad x\in\mathbb R^n, \end{gather*}
где $\mathscr L$ – линейный псевдодифференциальный оператор $\mathscr Lu=\overline{\mathscr F}_{\xi\to x}(L(\xi)\widehat u(\xi))$, а нелинейность $\mathscr N$ – квадратичный псевдодифференциальный оператор
$$ \mathscr N(u,u)=\overline{\mathscr F}_{\xi\to x}\sum_{k,l=1}^m\int_{\mathbb R^n}A^{kl}(t,\xi,y)\widehat u_k(t,\xi-y)\widehat u_l(t,y)\,dy, $$
$\widehat u\equiv\mathscr F_{x\to\xi}u$ – образ Фурье. В предположении, что начальные данные $\widetilde u\in\mathbf H^{\beta,0}\cap\mathbf H^{0,\beta}$, $\beta>n/2$, являются достаточно малыми и имеют ненулевой вектор общей массы $\displaystyle M=\int\widetilde u(x)\,dx\ne0$, где
$$ \mathbf H^{n,m}=\{\phi\in\mathbf L^2:\|\langle x\rangle^m\langle i\partial_x\rangle^n\phi(x)\|_{\mathbf L^2}<\infty\}, \qquad \langle x\rangle=\sqrt{1+x^2}\,, $$
– весовое пространство Соболева, доказано, что главный член асимптотики решений при больших временах в критическом случае дается автомодельным решением, определяемым единственным образом вектором общей массы $M$ начальных данных.
Библиография: 31 название.