Однобитовые измерения, дискрепанс и принцип Столярского

Знаколинейное однобитовое отображение $d$-мерной сферы $\mathbb S^{d}$ в $N$-мерный хэммингов (булев) куб $H^N=\{-1, +1\}^{N}$ задается правилом
$$ x \mapsto \{\mathrm{sign} (x \cdot z_j) \colon 1\leq j \leq N\}, $$
где $\{z_j\}\subset \mathbb S^{d}$. При $ 0<\delta<1$ мы выводим оценки на $ N (d, \delta )$ – наименьшее целое число $N$ такое, что существует знаколинейное отображение со свойством $\delta $-ограниченной изометрии; при этом мы рассматриваем нормированную геодезическую метрику на $\mathbb S^{d}$ и расстояние Хэмминга на $ H^N$. С точностью до полилогарифмического множителя $ N (d, \delta ) \approx \delta^{-2 + 2/(d+1)}$, здесь в показатель степени $\delta $ входит поправка, зависящая от размерности. Постановка этой задачи встречается в литературе по однобитовым измерениям, а метод доказательства заимствован из геометрической теории дискрепанса. Также формулируется аналог принципа инвариантности Столярского для данной ситуации, который утверждает, что минимизация $L^2$-усредненной погрешности вложения эквивалентна минимизации дискретной энергии $\sum_{i,j} \bigl(\frac12 - d(z_i,z_j) \bigr)^2$, где $d$ – нормированное геодезическое расстояние.
Библиография: 39 названий.