Эквивалентность тригонометрической системы и ее возмущений в пространствах $L^p$ и $C$
А. М. Седлецкий Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Аннотация:
Пусть
$B=B[-\pi,\pi]$ – какое-нибудь из пространств
$L^p(-\pi,\pi)$,
$1\leq p<\infty$,
$p\neq 2$,
$C[-\pi,\pi]$, пусть
$B_a=B[-\pi+a,\,\pi+a]$,
$a\in\mathbb{R}$. Получен ряд условий (как необходимых, так и достаточных) для того, чтобы “возмущенная тригонометрическая система”
$e^{i(n+\alpha_n)t}$,
$n\in\mathbb{Z}$, была эквивалентна тригонометрической системе
$e^{int}$,
$n\in\mathbb{Z}$, в
$B_a$ при любом
$a\in\mathbb{R}$. В частности, показано, что если
$(\alpha_n)\in l^s$, где
$1/s=|1/p-1/2|$, то указанная эквивалентность имеет место, причем показатель
$s$ является точным. С использованием (в том числе) этого результата доказано существование в
$L^p(-\pi,\pi)$,
$1<p<2$, базисов из экспонент, не являющихся эквивалентными тригонометрическому базису.
Доказательства основаны на применении мультипликаторов Фурье.
Библиография: 18 названий.
Ключевые слова:
эквивалентные системы функций, базис, мультипликатор Фурье.
УДК:
517.982.254
MSC: 46B15 Поступила в редакцию: 21.12.2016 и 02.09.2018
DOI:
10.4213/sm8890