О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях

Представлены новые результаты, относящиеся к проблеме периодичности непрерывных дробей, в которые разлагаются квадратичные иррациональности в поле $K((h))$, где $K$ – поле характеристики, отличной от 2, $h \in K[x]$, $\deg h=1$.
Пусть $f \in K[h]$ – свободный от квадратов многочлен и нормирование $v_h$ поля $K(x)$ имеет два продолжения $v_h^-$ и $v_h^+$ на поле $L=K(h)(\sqrt{f})$. Обозначим $S_h=\{v_h^-,v_h^+\}$. Глубокая связь между периодичностью непрерывных дробей в поле $K((h))$ и существованием $S_h$-единиц позволила далеко продвинуться в изучении периодических и квазипериодических элементов поля $L$, а также в вопросах, связанных с поиском фундаментальных $S_h$-единиц. С помощью нового эффективного алгоритма для поиска решений норменных уравнений в поле $L$ удалось найти примеры периодических непрерывных дробей элементов вида $\sqrt{f}$, что является достаточно редким явлением. Для случая эллиптического поля $L=\mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$, $\deg f=3$, описаны все свободные от квадратов многочлены $f \in \mathbb{Q}[h]$ с периодическим разложением $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь в поле $\mathbb{Q}((h))$.
Библиография: 16 названий.