Об одной теореме Беллмана о коэффициентах Фурье

В 1928 г. Харди [1] доказал, что класс $L^p$ $(1\leqslant p<\infty)$ инвариантен относительно $(C,1)$-преобразования коэффициентов Фурье. В 1944 г. Беллман [3] доказал двойственный результат для класса $L^p$ $(1<p\leqslant \infty)$ относительно сопряженного преобразования коэффициентов Фурье с помощью транспонированной матрицы к матрице метода $(C,1)$.
В данной работе дается новое доказательство теоремы Беллмана, не опирающееся на теорему Харди. При этом оказалось возможным получить представление функции с преобразованным рядом Фурье через исходную функцию, подобное представлению Харди. Кроме того, в работе исправляется одна неточность в формулировке второй части теоремы Беллмана. Наконец, в статье доказаны интегральные аналоги полученных результатов. Эти аналоги на эвристическом уровне выведены в работе Беллмана без обоснования выкладок и без формулировок условий, налагаемых на функции.
Библиография: 18 названий.