Равномерная сходимость и асимптотики для задач в областях с мелкой перфорацией вдоль заданного многообразия в случае усредненного условия Дирихле

Рассматривается краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами в многомерной области, перфорированной малыми отверстиями вдоль заданного многообразия. На отверстия налагаются минимальные естественные условия, в частности предполагается, что они все примерно одинакового размера и между любыми соседними имеется некоторое заданное минимальное расстояние, которое также является малым параметром. Форма отверстий и их распределение вдоль многообразия произвольные. Отверстия произвольным образом разделены на два набора. На границах отверстий из первого набора ставится условие Дирихле, на границах отверстий второго – третье нелинейное граничное условие. На размеры отверстий и распределение отверстий с условием Дирихле налагается простое и легко проверяемое условие, которое гарантирует, что при усреднении отверстия пропадают, а на упомянутом выше многообразии возникает условие Дирихле. Доказывается сходимость решения возмущенной задачи к решению усредненной в норме $W_2^1$ равномерно по правой части уравнения и выводится неулучшаемая по порядку оценка скорости сходимости. Также строится полное асимптотическое решение возмущенной задачи в случае, когда отверстия образуют периодическое множество, расположенное вдоль заданной гиперплоскости.
Библиография: 32 названия.