Частично диссипативные полугруппы, порождаемые системой Навье–Стокса на двумерных многообразиях, и их аттракторы

Рассматриваются уравнения Навье–Стокса
$$ \partial_tu+\nabla_uu=-\nabla p+\nu \Delta u+f, \quad \operatorname{div}u=0, $$
на двумерном замкнутом многообразии $M$, причем не требуется, чтобы фазовое пространство было ортогонально конечномерному пространству $\mathcal H$ гармонических векторных полей на $M$, $\mathcal H=\{u\in C^\infty(TM),\,\Delta u=0\}$, $n=\dim\mathcal H$ – первое число Бетти. Доказывается, что хаусдорфова (и фрактальная) размерность аттрактора $\mathcal A$ этой системы допускает оценку $\dim_H\mathcal A\leqslant c_1G^{\prime 2/3}(1+\ln G')^{1/3}+n+1$ (соответственно $\dim_F\mathcal A\leqslant c_2G^{\prime 2/3}(1+\ln G')^{1/3}+2n+2$ ), где $G'$ – аналог числа Грасгофа. В наиболее важном частном случае $M=S^2$ (двумерная единичная сфера) вычисляются константы в соответствующих интегральных неравенствах на сфере, что приводит к оценке $\dim_H\mathcal A_{S^2}\leqslant 5.6G^{2/3}\bigl(4.3+\frac43\ln G\bigr)^{1/3}+1$, $\dim_F\mathcal A_{S^2}\leqslant 15.8G^{2/3}\bigl(4.3+\frac43\ln G\bigr)^{1/3}+2$. Такие же оценки доказаны для двумерных уравнений Навье–Стокса в ограниченной области с краевыми условиями, обеспечивающими отсутствие пограничного слоя.
Библиография: 32 названия.