Неравенство Харди–Литтлвуда–Соболева в случае $p=1$

Пусть $\mathcal{W}$ – замкнутое инвариантное относительно сдвигов и растяжений линейное подпространство класса $\mathbb{R}^\ell$-значных обобщенных функций умеренного роста $d$ переменных. Работа посвящена доказательству следующего результата: если пространство $\mathcal{W}$ не содержит обобщенных функций вида $a\otimes \delta_0$, где $\delta_0$ – дельта Дирака, то для всякой функции $f\in\mathcal{W}\cap L_1$ верно неравенство
$$ \|\operatorname{I}_\alpha [f]\|_{L_{d/(d-\alpha),1}}\lesssim \|f\|_{L_1}, $$
причем константа в нем не зависит от функции $f$; $\operatorname{I}_\alpha$ обозначает потенциал Рисса порядка $\alpha$, а $L_{p,1}$ – пространство Лоренца. Частными случаями этого результата являются неравенство
$$ \|\nabla^{m-1} f\|_{L_{d/(d-1),1}} \lesssim \|A f\|_{L_1}, $$
где $A$ – сокращающий эллиптичный дифференциальный оператор порядка $m$, и неравенство
$$ \|\operatorname{I}_\alpha f\|_{L_{d/(d-\alpha),1}} \lesssim \|f\|_{L_1}, $$
где $f$ – соленоидальное векторное поле.
Библиография: 59 названий.