Внутренние функции матричного аргумента и классы сопряженности в унитарных группах
Ю. А. Неретинabc a Faculty of Mathematics, University of Vienna, Vienna, Austria
b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва
c Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Аннотация:
Обозначим через
$\mathrm B_n$ множество комплексных квадратных матриц порядка
$n$, чьи евклидовы операторные нормы меньше 1. Его граница Шилова – множество
$\operatorname{U}(n)$ всех унитарных матриц. Голоморфное отображение
$\mathrm B_m\to\mathrm B_n$ назовем внутренним, если оно отображает
$\operatorname{U}(m)$ в
$\operatorname{U}(n)$. С другой стороны, рассмотрим группу
$\operatorname{U}(n+mj)$ и ее подгруппу
$\operatorname{U}(j)$, вложенную в
$\operatorname{U}(n+mj)$ блочно-диагонально (
$m$ блоков
$\operatorname{U}(j)$ и единичный блок размера
$n$). Классу сопряженности в
$\operatorname{U}(n+mj)$ относительно подгруппы
$\operatorname{U}(j)$ мы ставим в соответствие “характеристическую функцию”, которая является рациональным внутренним отображением
$\mathrm B_m\to\mathrm B_n$. Мы показываем, что класс внутренних функций, которые могут быть получены как характеристические функции, замкнут относительно естественных операций таких, как поточечные прямые суммы, поточечные произведения, композиции, подстановки в конечномерные представления полной линейной группы и др. Мы также явно описываем соответствующие классы сопряженности.
Библиография: 24 названия.
Ключевые слова:
внутренние функции, операторные узлы, классические комплексные области, характеристические операторные функции, передаточные функции.
MSC: Primary
32H02,
32M05,
32M10,
32Q02; Secondary
20G05,
47A48 Поступила в редакцию: 19.09.2021 и 16.02.2022
DOI:
10.4213/sm9673