О неприводимых характерах групп $S_n$ и $A_n$

Характеры $\varphi$ и $\psi$ конечной группы $G$ называются полупропорциональными, если они не пропорциональны и существует подмножество $M$ в $G$ такое, что пропорциональны ограничения $\varphi$ и $\psi$ на $M$ и их ограничения на $G\setminus M$. Получено описание всех пар пропорциональных неприводимых характеров симметрических групп. А именно, в теореме 1 доказана равносильность следующих условий пары $(\varphi,\psi)$ различных неприводимых характеров группы $S_n(n\in\mathbb{N})$:
(1) $\varphi$ и $\psi$ полупропорциональны,
(2) $\varphi$ и $\psi$ имеют одно и то же множество корней,
(3) $\varphi$ и $\psi$ ассоциированы (т.е. $\psi=\varphi\xi$, где $\xi$ – линейный характер группы $S_n$ с ядром $A_n$).
Отметим, что условия (1) и (2), вообще говоря, не равносильны для произвольных конечных групп. Равносильность условий (1) и (3) подтверждает для симметрических групп следующую гипотезу, проверенную ранее автором для ряда классов групп: полупропорциональные неприводимые характеры конечной группы имеют равные степени.
Знакопеременные группы, по-видимому, не имеют полупропорциональных неприводимых характеров. Теорема 2 настоящей статьи есть некоторый шаг в доказательстве этой гипотезы.