Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. I

Для многомерного уравнения нелинейной диффузии
$$ u_t=\nabla\cdot (u^\lambda\nabla u),\quad u\overset\triangle=u(\mathbf x,t)\colon\Omega\times\overline{\mathbb R}^+\to{\mathbb R}^+,\quad\mathbf x\in\mathbb R^n, $$
предложена оригинальная форма решений
$$ u(\mathbf x,t)=[\lambda[\tfrac12(\mathbf x,A_1(t)\mathbf x)+ (\mathbf x,\mathbf B_1(t))+C_1(t)]^p_++\lambda[\tfrac12(\mathbf x,A_2(t)\mathbf x)+(\mathbf x,\mathbf B_2(t))+C_2(t)]]_+^{1/\lambda}, $$
с помощью которой исследование исходного уравнения сведено к изучению конечномерной переопределенной (число уравнений больше числа искомых функций) системе алгебро-дифференциальных уравнений. Здесь $A_k(t)$ – вещественные симметричные матрицы с элементами $a_{kij}(t)\in C^1(\overline{\mathbb R}^+)$, $\mathbf B_k(t)$ – вектор-столбцы с компонентами $b_{ki}(t)\in C^1(\overline{\mathbb R}^+)$ и $C_k(t)\in C^1(\overline{\mathbb R}^+)$ – скалярные функции; $\Omega\subset{\mathbb R}^n$ – ограниченная область; $\mathbb R^+=(0,\infty)$; $\lambda,p\in\mathbb R$; $\lambda,p\ne 0$; $k=1,2$. Получено явное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и изучены свойства алгебраических уравнений. Найдено многопараметрическое семейство новых точных неавтомодельных анизотропных по пространственным переменным явных неотрицательных решений исследуемого уравнения при $A_1(t)\equiv0$, $\mathbf B_1(t)\equiv0$, $C_1(t)\equiv0$.