Ранговые аналоги теорем Холла и Бэра

Доказано, что если $(k+1)$-й член нижнего центрального ряда конечной нильпотентной группы $G$ имеет ранг $r$, то фактор-группа группы $G$ по $(2k)$-му члену верхнего центрального ряда имеет $(k, r)$-ограниченный ранг. Как следствие теоремы Манна–Любоцкого о том, что ранг мультипликатора Шура конечной группы ограничен в терминах ранга самой группы, доказано, что если ранг фактор-группы конечной группы $G$ по $k$-му члену верхнего центрального ряда равен $r$, то $(k+1)$-й член нижнего центрального ряда группы $G$ имеет $(k, r)$-ограниченный ранг. Полученные результаты являются ранговыми аналогами теорем Холла (см. Hall Ph. Finite-by-nilpotent groups // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1956. V. 52. P. 611–616) и Бэра (см. l Baer R. Representation of groups as quotient groups. I // Trans. Amer. Math. Soc. 1945. V. 58, P. 295–419).