О группах с расщепляющим автоморфизмом простого порядка

Доказывается, что если локально нильпотентная группа $G$ допускает расщепляющий автоморфизм $\varphi$ простого порядка $p$, то на ней для некоторых $p$-ограниченных натуральных чисел $k(p)$ и $l(p)$ выполняются тождества $\bigl[x_1^{p^{k(p)}},x_2^{p^{k(p)}},\dots,x_{h+1}^{p^{k(p)}}\bigr]=1$ (означающие, что подгруппа $G^{p^{k(p)}}$ нильпотентна ступени $h(p)$, т.е. $\gamma_{h(p)+1}\bigl(G^{p^{k(p)}}\bigr)=1$) и $[x_1,x_2,\dots,x_{h+1}]^{p^{l(p)}}=1$, где $h(p)$ – функция Хигмэна, ограничивающая ступень нильпотентности нильпотентной группы с регулярным автоморфизмом простого порядка $p$. Автору пока неизвестно, можно ли заменить последнее тождество равенством вида $\bigl(\gamma_{h(p)+1}(G))^{p^{m(p)}}\bigr)=1$. Эти результаты представляют собой первые шаги по направлению к доказательству гипотезы о том, что многообразие $LN\mathfrak{M}_p$ локально нильпотентных групп, допускающих расщепляющий автоморфизм простого порядка $p$, является объединением некоторого нильпотентного подмногообразия $\mathfrak{N}_{c(p)}\cap\mathfrak{M}_p$ и подмногообразия $\mathfrak{B}_p\cap LN\mathfrak{M}_p$ групп периода $p$. (Класс групп $LN\mathfrak{M}_p$ является многообразием по теореме автора (РЖМат., 1986, 10А165)). Хотя в полученном результате значения периодов далеки от предполагаемого $p$, значения ступеней нильпотентности неулучшаемы благодаря использованию недавнего результата Н. Ю. Макаренко, уточнившей результат работы (РЖМат., 1986, 4А208). Так как всякая расщепляемая конечная $p$-группа представима в виде полупрямого произведения $P\leftthreetimes\langle\varphi\rangle$, где $\varphi$ – расщепляющий автоморфизм простого порядка $p$ группы $P$, то имеются также соответствующие следствия о строении таких групп.
Библиогр. 15.