Расстояние между оператором взвешенного сдвига и интегральными операторами

В дальнейшем всюду $(X,\mathcal{A},\mu)$ и $(Y,\mathcal{B},\nu)$ – конечные измеримые пространства. Оператор $S\colon L_{\mu}^p\to L_{\nu}^p$ называется оператором взвешенного сдвига, если его можно представить в виде $\pi T_\varphi $, где $\pi$ – оператор умножения на функцию $\pi$, $T_\varphi\colon x\to x\circ\varphi$, $\varphi\colon Y\to X$ – измеримое отображение.
Теорема. {\it Если $\pi T_\varphi\colon L_{\mu}^p\to L_{\nu}^p$ – ограниченный оператор взвешенного сдвига, $1\le p<\infty$, $\pi\in L_{\nu}^p $, то $T_\varphi^\circ(|\pi|)\in L_{\mu}^\infty$ и}
$$ \|\pi T_\varphi\|=\bigl(\bigl\|T_\varphi^\circ(|\pi|^p)\bigr\|_{L^\infty}\bigr)^{1/p}. $$

Теорема. {\it Если $T$, $S\colon L_{\mu}^p \to L_{\mu}^p$ – ограниченные операторы, $1<p<\infty$, где $T$ интегрален, $S$ – оператор взвешенного сдвига, то}
$$ \|S-T\|\ge\|S\|. $$

Библиогр. 19.