О необходимых и достаточных условиях на кривую для того, чтобы она являлась образом градиента $C^1$-гладкой функции

Найдены необходимые и достаточные условия на плоскую кривую для того, чтобы она была множеством значений градиента $C^1$-гладкой функции двух переменных. В качестве одного из следствий указаны необходимые и достаточные условия на непрерывную функцию $\varphi$ для существования нетривиальных $C^1$-гладких решений дифференциального уравнения $\dfrac{\partial v}{\partial t}=\varphi\biggl(\dfrac{\partial v}{\partial x}\biggr)$.