Вероятность порождения $r$ элементами в свободной группе ранга $n$ подгруппы ранга $r$

Зафиксируем натуральные числа $n\ge2$, $r,R$ и рассмотрим в свободной группе $F_n$ упорядоченные наборы из $r$ элементов длины $\le R$. Среди выделенных наборов подсчитаем число таких, которые порождают в $F_n$ подгруппу ранга $r$, и разделим это число на число всех выделенных наборов. Известно (см. [1]), что предел этого отношения при $R\to1$ существует и равен 1. В настоящей статье приводится простое доказательство этого результата.