$\mathrm C^*$-гомоморфизмы и дуальность $\mathrm C^*$-дискретных квантовых групп

Пусть $\mathscr D$ – $\mathrm C^*$-дискретная квантовая группа и $\mathscr D_0$ – дискретная квантовая группа, ассоциированная с $\mathscr D$. Предположим, что существует непрерывное действие $\mathscr D$ на унитальной $\mathrm C^*$-алгебре $\mathscr A$ такое, что $\mathscr A$ становится $\mathscr D$-модульной алгеброй. Если существует точное неприводимое вакуумное представление $\pi$ алгебры $\mathscr A$ на гильбертовом пространстве $H=\overline{(\pi(\mathscr A)\Omega)}$ с вакуумным вектором $\Omega$, которое продолжается до $\mathscr D$-инвариантного состояния, то существует единственное согласованное с действием $\mathrm C^*$-представление $(\theta,H)$ квантовой группы $\mathscr D$. Подпространство неподвижных точек алгебры $\mathscr A$ относительно действия $\mathscr D$ является в точности коммутантом $\theta(\mathscr D)$.