Одна гипотеза о выпуклых многогранниках

Выделен класс пирамид специального вида и выдвинута гипотеза, что среди замкнутых выпуклых многогранников с четным числом вершин и единичным геодезическим диаметром наибольшую площадь поверхности имеют именно эти пирамиды. Описана их геометрия. Подтверждение этой гипотезы дало бы доказательство проблемы А. Д. Александрова “о дважды покрытом круге”. Через связь с многоугольниками Рело доказано, что на плоскости выпуклый $n$-угольник единичного диаметра при нечетных $n$ имеет наибольщую площадь, когда он правильный. При четных $n$ это не так.