Инъективная $(\Delta+1)$-раскраска плоских графов с обхватом 6

Раскраска графа называется инъективной, если любые две вершины, между которыми существует цепь длины 2, получают разные цвета. Ясно, что минимальное число цветов $\chi_i(G)$ в инъективной раскраске любого графа $G$ не меньше, чем его максимальная степень $\Delta(G)$. Существуют плоские графы с обхватом $g\ge6$ и $\chi_i=\Delta+1$ для любой $\Delta\ge2$. Доказано, что каждый плоский граф с $\Delta\ge18$ и $g\ge6$ имеет $\chi_i\le\Delta+1$.