Частичные суммы и проблема радиуса для одного класса конформных отображений

Пусть $\mathscr A$ – множество нормированных аналитических функций $f(z)=z+\sum^\infty_{k=2}a_kz^k$ в единичном круге $|z|<1$ и $s_n(z)$ – $n$-я частичная сумма $f(z)$. Получена оценка для $|\frac{s_n(z)}{f(z)}-1|$, когда $f\in\mathscr A$ однолистна в $\mathbb D$. Пусть $\mathscr U$ – множество всех $f\in\mathscr A$ в $\mathbb D$, удовлетворяющих условию
$$ \Big|f'(z)\Bigl(\frac z{f(z)}\Bigr)^2-1\Big|<1 $$
при $|z|<1$. В случае $f''(0)=0$ доказано, что все соответствующие $s_n$ для $f\in\mathscr U$ принадлежат $\mathscr U$ в круге $|z|<1-\frac{3\log n-\log(\log n)}n$ при $n\ge5$. В этом случае показано также, что $\operatorname{Re}(f(z)/s_n(z))>1/2$ в круге $|z|<\sqrt{\sqrt5-2}$. Найдены необходимые условия на коэффициенты для функций из $\mathscr U$ и соответствующей проблемы радиуса в подклассах из $\mathscr U$. В качестве следствия получено, что если $f\in\mathscr U$, то для $n\ge3$ выполнена оценка
$$ \Big|\frac{f(z)}{s_n(z)}-\frac43\Big|<\frac23\quad\text{для}\quad|z|<r_n:=1-\frac{2\log n}n. $$