Полилинейные многочлены и коцентрализаторные условия в первичных кольцах

Пусть $R$ – некоммутативное первичное кольцо характеристики, отличной от 2, $Z(R)$ – его центр, $U$ – кольцо частных Утуми для $R$, $C$ – обобщенный центроид $R$ и $f(x_1,\dots,x_n)$ – нецентральный полилинейный многочлен над $C$ от $n$ некоммутирующих переменных. Обозначим через $f(R)$ множество всех означиваний $f(x_1,\dots,x_n)$ на $R$. Если $F$ и $G$ – обобщенные дифференцирования $R$ такие, что $[[F(x),x],[G(y),y]]\in Z(R)$ для любых $x,y\in f(R)$, то выполняется одно из следующих условий:
(1) существует $\alpha\in C$ такой, что $F(x)=\alpha x$ для всех $x\in R$;
(2) существует $\beta\in C$ такой, что $G(x)=\beta x$ для всех $x\in R$;
(3) $f(x_1,\dots,x_n)^2$ централен на $R$ и либо существуют $a\in U$ и $\alpha\in C$ такие, что $F(x)=ax+xa+\alpha x$ для всех $x\in R$, либо существуют $c\in U$ и $\beta\in C$ такие, что $G(x)=cx+xc+\beta x$ для всех $x\in R$;
(4) $R$ удовлетворяет стандартному тождеству $s_4(x_1,\dots,x_4)$ и либо существуют $a\in U$ и $\alpha\in C$ такие, что $F(x)=ax+xa+\alpha x$ для всех $x\in R$, либо существуют $c\in U$ и $\beta\in C$ такие, что $G(x)=cx+xc+\beta x$ для всех $x\in R$.