О секционной связности контингенции
С. П. Пономарев,
М. Туровска Institute of Mathematics, Pomeranian Academy in Słupsk, Słupsk, Poland
Аннотация:
Пусть
$X$ – вещественное нормированное пространство,
$f\colon\mathbb R\to X$ – непрерывное отображение. Пусть
$\mathrm T_f(t_0)$ – контингенция графика
$G(f)$ в точке
$(t_0,f(t_0))$,
$S^+\subset(0,\infty)\times X$ – “правая” единичная полусфера с центром в
$(0,0_X)$. Доказаны следующие результаты.
1. Если
$\dim X<\infty$ и растяжение
$D(f,t_0)$ отображения
$f$ в
$t_0$ конечно, то
$\mathrm T_f(t_0)\cap S^+$ компактна и связна. Результат остается верным для
$\mathrm T_f(t_0)\cap\overline{S^+}$ даже при бесконечном растяжении в случае, когда
$f\colon[0,\infty)\to X$.
2. Если
$\dim X=\infty$, то для любого компактного множества
$F\subset S^+$ существует липшицево отображение
$f\colon\mathbb R\to X$ такое, что
$\mathrm T_f(t_0)\cap S^+=F$.
3. Если замкнутое множество
$F\subset S^+$ имеет мощность больше континуума, то соотношение
$\mathrm T_f(t_0)\cap S^+=F$ неверно для любого липшицева
$f\colon\mathbb R\to X$.
Ключевые слова:
контингенция (касательный конус), растяжение, связность, компактность, евклидово пространство, мощность.
УДК:
517.98.22
Статья поступила: 18.11.2010