Условие мёбиусовых середин как признак квазиконформности и квазимёбиусовости

Условие середин, введенное Голдбергом (1974 г.) как критерий квазисимметричности отображения прямой на себя и рассмотренное В. В. Асеевым и Д. Г. Кузиным (1998 г.) в том же качестве для топологических вложений прямой в пространство $\mathbb R^n$, не дает, однако, никакой информации о квазиконформности или квазисимметричности топологического вложения $\mathbb R^k$ в $\mathbb R^n$ при $1<k\le n$. В статье вводится мёбиусово-инвариантная модификация условия середин, названная условием “мёбиусовых середин” $\text{УМС}(f)\le H<1$. Доказано, что при выполнении этого условия гомеоморфизм областей в $\overline{\mathbb R^n}$ является $K(H)$-квазиконформным, а топологическое вложение сферы $\overline{\mathbb R^k}$ в $\overline{\mathbb R^n}$ ($1\le k\le n$) – $\omega_H$-квазимёбиусовым. Коэффициент квазиконформности $K(H)$ и функция искажения $\omega_H$ зависят только от $H$ и выражены явными формулами, показывающими, что $K(H)\to1$ и $\omega_H\to\mathrm{id}$ при $H\to1/2$. Так как $\text{УМС}(f)=1/2$ равносильно мёбиусовости отображения $f$, полученные формулы дают близость отображения к мёбиусову при $H$, близком к $1/$2.